Tutori della Scienza: Vicino conta a bocce

Come avevo anticipato, propongo un nuovo post che si inserisce nell'iniziativa Tutori della Scienza, lanciata dal blog di Gianluca Santini. Dopo aver spiegato per sommi capi perché l'uomo non discende dalla scimmia, torno su un argomento abbastanza familiare per chiunque ma su cui spesso si fa confusione. Ho pensato infatti che sia questo il taglio più appropriato da dare a questo filone di post: ci sono infatti tanti temi comuni che diamo per scontati, ma che hanno una "base scientifica" ben diversa da quella generalmente accettata.

Il tema di questo post, che forse dal titolo non è così evidente, è la cosiddetta legge dei grandi numeri. Ho ripreso il titolo dalla tipica risposta sardonica che si dà dalle mie parti, quando qualcuno afferma di essere andato vicino a raggiungere qualcosa. Del tipo:
"L'altra sera sono andato vicino a fare un canestro da tre!"
"Vicino conta a bocce..."
La risposta esprime in modo sintetico e dissacrante il concetto per cui non si può "approssimare" un obiettivo con quelli a lui vicini, a meno che, appunto, non si stia giocando a bocce (se non sapete come funziona il gioco delle bocce, aspettate di arrivare in pensione e capirete). Apparentemente questo è un concetto scontato e superficiale, ma in realtà approndendo il tema si scopre che c'è qualcosa di più.

L'esempio più semplice per spiegare tale dinamica è quello della lotteria. Consideriamo per semplicità anche il semplice gioco del lotto, in cui vengono estratti 6 numeri su 90. È evidente anche per chi non ha studiato la materia che la probabilità dell'uscita di un qualsiasi numero è appunto di 1/90 (non stiamo a complicarci la vita calcolando le probabilità delle varie combinazioni, perché non ci interessa, ma in effetti il discorso si applica anche in questi casi). Ciò che è meno intuitivo è che la probabilità di 1/90 si mantiene per tutte le estrazioni successive. Ogni volta che viene estratto un numero, a distanza di due giorni, una settimana, sei anni, la sua probabilità è sempre 1/90. Da ciò deriva il fatto che tutte le teorie e i sistemi basati sui numeri "ritardatari" sono essenzialmente delle cazzate, ed è proprio questo il punto dove forse l'intuito dei più vacilla. Siamo infatti portati a credere che, per la legge dei grandi numeri, nel lungo periodo qualunque numero debba uscire. Per cui se il 37 non esce da 114 estrazioni, alla 115esima è probabile che esca. Non è così.

La legge dei grandi numeri è un caso particolare (o volendo una formulazione più "volgare") del teorema del limite centrale, o teorema centrale del limite. Ai tempi in cui studiavo statistica avrei potuto snocciolarvi a memoria la dimostrazione di questo teorema su cui si basa in pratica tutta l'applicazione degli strumenti statistici ai casi pratici e sperimentali, ma attualmente ho difficoltà anche a calcolare un semplice integrale definito... in ogni caso, lo sviluppo matematico non ci interessa in questa sede. Riducendo il concetto dall'eleganza matematica al rozzo linguaggio parlato, si può dire che la media campionaria di una serie di esperimenti tende all'infinito alla media effettiva della popolazione. Semplificando al massimo, si ha che in una serie di prove infinite, la media ricavata dal campione e quella vera coincidono. Applicando questo teorema a una variabile casuale binomiale (che è il modello secondo cui si distribuisce appunto l'estrazione del lotto), si ottiene che per un numero di infinito di estrazioni ogni elemento verrà estratto un numero di volte proporzionale alla sua probabilità di estrazione, ovvero in questo caso una volta su novanta.

Formulando in questo modo (pur molto approssimativo rispetto ai termini matematici esatti) il teorema, apparentemente si ottiene la conferma che proprio perché il 37 non esce da 114 estrazioni, la 115esima sarà quella buona. Il problema sta nel fatto che si sottovaluta mostruosamente che cosa si intende con "grandi numeri": grande vuol dire infinito. E 115 non è una buona approssimazione dell'infinito, come non lo è 2613 e nemmeno 45631578541354. La probabilità che un numero esca non è influenzata dal fatto che non sia uscito precedentemente, per cui non ha senso parlare di numeri "ritardatari", come se ci si aspettasse che debbano farsi vivi e invece non sono arrivati. Quel 37 potrebbe anche ritardare di centosettanta milioni di anni, e la cosa sarebbe perfettamente in regola con le leggi matematiche in gioco. Allo stesso tempo, si ha che qualunque numero ha sempre la stessa probabilità di uscire, per cui potremmo giocare il 15 da qui all'eternità e vincere tutte le volte.

"Eh ma allora", dite voi, "se è così perché non ci sono numeri che non escono mai?" Perché i ritardatari effettivamente poi escono?". L'anticlimatica risposta è che, tutto sommato, 1/90 non è una probabilità così bassa. Invece di contare per quante estrazioni non esce il 37 sulla ruota di Bari, segnatevi la prossima combinazione vincente del Superenalotto e contate quante estrazioni ci vogliono perché quella stessa combinazione si ripresenti. Se non che, in realtà, potrebbe anche presentarsi la settimana successiva, e non ci sarebbe niente di strano...

Tutto l'esempio del lotto si basa chiaramente sul fatto che le estrazioni siano davvero casuali e non "pilotate". Non mi meraviglierebbe che ci fosse un sistema studiato apposta per programmare i "ritardi", ma questo va oltre quanto si può spiegare con la sola matematica. In definitiva, ecco perché è vero che "vicino conta a bocce": non c'è modo di avvicinare un fenomeno casuale, e anche se possiamo contare sulla legge dei grandi numeri, questo in realtà non ci garantisce niente, nei limiti della nostra ristretta esperienza terrena. Perché a dirla tutta, nemmeno se potessimo giocare da qui alla fine dell'universo saremmo sicuri di vincere almeno una volta.

Concludo solo specificando che questo post non è pubblicità progresso e non vuole insegnarvi a "giocare responsabilmente". Fate quello che vi pare, purché siate coscienti dei meccanismi con cui vi confrontate. Se poi avete anche la prozia morta che vi passa i numeri in sogno, tanto meglio.

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